如何用代码模拟自由落体

原理

我们的图形化程序是基于帧来显示动画的。每隔一段时间，屏幕内容更新一次，称为一帧。为了模拟出自由落体的动画，我们的程序需要计算出每帧小球出现的位置。

想象一下用一个照相机，在小球下落过程中，每隔一段等长的时间，对小球的位置拍个照片。经过一段时间后，这些照片上小球的位置，就是我们要计算的数值。

模型

最简单的模型，是小球从静止状态自由下落。将重力加速度记为 $g_0$，我们知道在任意时刻 $t$，小球的速度是 $$v(t)=g_0t=g_0nT$$

$T$ 为相邻两帧的间隔时间。上式中 $g_0$, $T$ 都为常量，我们可以合并为一个新的常量 $g_1$，这样 $v(n)$ 构成了一个离散序列:

$$ v(n)=g_1n$$或者$$ v(n)=v(n-1)+g_1 \tag{1}$$

速度 $v(n)$ 是个等差数列，随时间变化的曲线如下图中的红线：

为了简化问题，假设第 $n$ 帧到第 $n+1$ 帧之间，小球保持 $v(n)$ 匀速，那么在两帧之间走过的路程为 $$\Delta y(n)=v(n)T=g_1nT=gn$$

这里得到了第 $n$ 帧内，小球走过的路程。而第 $n$ 帧的小球位置$y(n)$ 是前 $n$ 帧内走过路程的累积：$$ y(n) = y(n-1)+ gn \tag{2}$$

这里 $g$ 是一个常量，和真正的重力加速度的数值 $9.8 m/s^2$已经没有关系，但是仍然起到了加速度的作用：这个值越大，小球下落的越快。位置$y(n)$ 的级差是等差数列，随时间变化的曲线如下图中的红线：

这个曲线近似是抛物线。在连续时间模型下，$y(n)$ 的级差对应路程 $s(t)$n的导数，也就是瞬时速度 $v(t)$. 级差是等差数列，则对应瞬时速度$v(t)$是线性递增函数。

更深入的研究，请参看 蛙跳积分法。

实现

用下面的伪代码可以实现上面的 $(2)$ 式：

var y=0, n=0, g=1
while(小球未落地)
    y+=(n++)*g

这就是自由落体的代码实现。如下图所示：

（点击动画重新播放）

落地反弹

如何模拟当小球接触到地面后的反弹？

理想条件下，小球弹起的能量保持不变，速度数值不变，方向变为竖直向上。为了便于计算速度，将上节的下落过程 改写为下面的伪代码：

var y=0, v=0, g=1
while(小球未落地)
    v+=g
    y+=v

这里 位置 $y$ 和速度 $v$ 是量纲不同的变量，不能直接相加，但这里这么写纯粹为了计算数值，效果和 上节 相同。接下来可以写小球反弹的场景：

var y=0, v=0, g=1
while(true)
    if(小球触碰地面){
        v=-v
    }
    v+=g
    y+=v

效果如下图：

考虑损耗

由于摩擦的存在和小球的形变，反弹的一瞬间，有能量的损失，所以速度从数值上会减少。假设减少的数量和速度成正比，则剩余的速度是原速度乘上一个常数，记为 $f$, 同时有 $0<f<1$，那么上面的伪代码就变为：

var y=0, v=0, g=1, f=0.6
while(true)
    if(小球触碰地面){
        v=-f*v
    }
    v+=g
    y+=v

效果如下图：

（点击动画重新播放）

（完）

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