纽索纹

用途

纽索纹（guilloche），也叫纽索饰。是在旋轮线、正弦曲线基础上，增加更多的细节控制，得到美观、细密的图形。

由于纽索纹的参数较多，且曲线的形状对参数非常敏感，仅从图形外观上不能反推得到参数值，于是难以复制，适合防伪用途。在装饰、防伪印刷品经常能看到纽索纹的身影：

（RMB 100元背面）

（身份证）

（证书边框）

（防伪标志）

（香烟封条）

如何得到纽索纹

纽索纹 和 旋轮线 类似，都是在圆的参数方程基础上，通过以下步骤得到:

• 使极径 $ \rho$ 成为极角的函数$ \rho(t)$。
• $\rho(t)$是周期函数
• $\rho(t)$的周期不能被 $2\pi$ 整除

半径为 $R$ 的圆，方程为

$$\begin{cases} x(t) = R \cos(t) \\ y(t) = R \sin(t) \end{cases}$$

需要找到合适的极径函数 $\rho(t)$，得到$$\begin{cases} x(t)=\rho(t)\cos(t)\\y(t)=\rho(t) \sin(t)\end{cases}$$

$\rho(t)$称为受调制的极径。

基本图形

取极径函数 $$\rho(t)=R-r \cos(bt)$$ 得到： $$\begin{cases}x(t)=[R-r\cos(bt)] \cos(t)\\y(t)=[R-r \cos(bt)] \sin(t)\end{cases}$$

若取 $R=8, r=1, b=6$ 时，图形会是这样：

多个周期重复

为了生成 这一节 中交叉格子的图案，需要把周期缩小到 $2 \pi$ 以内，并且周期不能被 $2 \pi$ 整除。经过多个旋转周期后，不同周期的曲线自身相交叉得到格子图案。

$$\begin{cases} x(t)=[R-r \cos(b t)] \cos(a t)\\y(t)=[R-r \cos(b t)] \sin(a t), a<1 \end{cases} $$ 比如 $R=8,r=3,b=5,a=0.95,0<t<2\pi$ 时，曲线图形会是这样：

多周期重复后，得到

若取 $R=8, r=2, b=6, a=0.99, 0<t<2n\pi, 0<n<35, n\in\mathbb{Z}$时，图形会是这样：

图形对 a 值的敏感程度

图形对 $a$ 值的敏感程度，可以从下图看出：

取 $ a={0.999-0.001n|0 \le n \le 29, n\in\mathbb{Z}}$ 的30个数，相当于 $3 \% $ 的变化范围，$0<t<20\pi$.

可以看出图形发生了的很大的变化。$a$ 值的作用，是决定了图形的旋转角度，或者相位累积。

图形对 b 值的敏感程度

图形对 $b$ 值的敏感程度，可以从下图看出：取 $b=1\sim30$ 的30个数，$0<t<4\pi$. 可以看出 $b$ 值的作用，是决定了图形的极径函数 $\rho(t)$ 的基本频率。

图形对 r 值的敏感程度

图形对 $r$ 值的敏感程度，可以从下图看出：取 $R=9.7,p=0.5,a=0.825,b=3,0<r<200,0<t<30\pi$. 可以看出 $r$ 值的作用，是决定了图形的极径函数 $\rho(t)$ 的平均值。

精细调制

增加一项较低频率的振荡项。极径函数为 $$\rho(t)=R-r\cos(bt)-p\cos(ct),$$得到：$$x(t)=[R-r\cos(bt)-p\cos(ct)] \cos(t)\\y(t)=[R-r\cos(bt)-p\cos(ct)] \sin(t)$$
若取 $R=8,r=2,p=1.5,a=0.99,b=6,c=0.02,0<t<40\pi$时，图形会是这样：

取 $c={0.01n|0<n<16, n\in\mathbb{Z}}$时，图形会是这样：

外摆线

从 有理数情况下的外摆线 入手，当 R 和 r 的比值 $R/r$ 接近随机数时，尖的数量增大很多，形成交叉格子的图案。

举个例子，若取 $R=9.7, r \in{4.7+0.02n|0<n<30, n\in\mathbb{Z}}$时，图形会是这样：

若取 $R=9.4, r \in{6+0.02n|0<n<30, n\in\mathbb{Z}}$时，图形会是这样：

例子

一张图模拟 防伪标志：

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