椭圆

椭圆的定义

椭圆是平面上到两个固定点的距离之和为常数的点之轨迹。

$$\{P | |PF_1| + |PF_2|= C\}$$

下面的动图表示，到两个焦点的距离之和为常数。

椭圆的方程

直角坐标：

$${x^2 \over a^2}+{y^2 \over b^2}=1$$

参数式：

$$(x,y)=(a \cos t,b \sin t)$$

从参数式可以看出：横坐标 $x$ 来自半径 $a$ 的圆，纵坐标 $y$ 来自半径 $b$ 的圆。

再由 正弦曲线，余弦曲线 与单位圆 的联系 ，可以得出

即 利萨如图形 中，$a:b=1:1$ 的情况。

圆变为椭圆

圆可以看做焦点重合的 椭圆。离心率 eccentricity $$e={a \over c}$$其中， $c=\sqrt {a^2-b^2}$

图中的绿色直线表示椭圆的准线（directrix）。准线的方程为 $$x={a^2 \over c}$$

圆的准线可以看做位于无穷远，随着离心率 e 的增大，准线接近圆点。

椭圆的准圆

准圆 Director circle是椭圆外切矩形的外接圆。

准圆的半径是 $$\sqrt{a^2+b^2}$$

椭圆的切线方程

过点$(x_0,y_0)$的椭圆切线方程为$${x_0x \over a^2}+{y_0y \over b^2}=1$$

光学反射性质

共轭直径

共轭直径三角形

共轭直径构成的三角形，面积恒定为 $$A_\Delta={1 \over 2}ab$$

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