椭圆的画法

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正文开始：

在现实生活中如何画 椭圆 ？椭圆并不是由圆压扁而来，而是要符合一定的规则才能称为椭圆。现实生活中如果有画椭圆的需求，应该按照固定的方法作图。本文介绍一些绘制椭圆的方法。

焦点法

又叫园丁画法（gardener’s construction），因为在划定椭圆形花坛时，这个方法最为实用，而且画出的椭圆也足够标准。

与 椭圆的定义 所描述的一致，用一根没有弹性的绳，两端固定，可以做出椭圆。

• 优点：因为很长的绳子可以折叠，便于携带，所以这种方法可以画出很大的椭圆。

• 缺点：现实中，绳子的粗细不能忽略，而且绳子越粗，这种方法越不精确

内旋轮线

如这篇 内旋轮线 所描述，当大小圆半径之比为 2:1 时，可以得到椭圆轨迹

这种方法需要半径比为2的两个圆相互啮合，比如 图斯双圆

参数方程法

观察 椭圆的参数方程 $(x,y)=(a \cos t,b \sin t)$，刚好可以表示为一根线段上定点的轨迹。

如下图所示：

用一根长度为 $a+b$ 的硬杆，两端在 $x$ 轴、$y$ 轴上滑动。到两端距离分别为 $a$ 和 $b$ 的点的横坐标总等于 $a \cos (t)$ ，纵坐标总等于 $b \sin (t)$ 。所以这个点的轨迹即为椭圆，而且椭圆的长、短半轴分别为 $a$、$b$ 。

图中的紫色表示滑块经过的轨迹，说明这种方法为了画出半轴为$a,b$的椭圆，需要两根长$a+b$轨道。

优点：

• 能比 焦点法画椭圆 作出更为精确的椭圆轨迹

缺点：

• 工具的尺寸$(a+b)$比画出的椭圆$(a,b)$更大，限制了这种方法的应用
• 椭圆一周的轨迹，需要4次越过轨道，增加了画图的难度，有可能使椭圆不连续

参数方程法改进

注意到上面的 参数方程法 里，滑杆中点的坐标为$$({a+b \over 2} \cos (t), {a+b \over 2} \sin (t)),$$刚好是个圆。所以，参数方法里的滑杆可以折叠起来，如下图。

与前面方法相比，少了一根轨道，减小了工具的体积，相当于将另一个根轨道的约束转化为圆心的约束。但仍然没有解决工具尺寸过大的问题。

椭圆规

常见的椭圆规，克服了上述的缺点，轨道更短，且椭圆曲线不与轨道相交。原理如下：

滑杆长度为$a$，两个滑块距离固定为$a-b$，则滑杆另一端点的轨迹仍然为$(a\cos (t), b\sin (t))$，即椭圆方程。

轨道长度只需要$a-b$。

现实中的椭圆规长这样：

有趣的是，椭圆规的两根轨道是等长的，却画出了一个偏心的椭圆。

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