圆锥曲线

圆锥曲线的定义

除了传统的基于准线、焦点的定义（比如 抛物线 ，椭圆）以外，圆锥曲线有更为正式和统一的定义：

动点到一定点（焦点）的距离与其到一定直线（准线）的距离之比为常数（离心率e）的点的集合是圆锥曲线。

统一的参数式为$$r={l \over 1 + e \cos \theta}$$

离心率 $ e$，eccentricity，衡量了圆锥曲线偏离圆的程度。

下面分两种情况展示动图：

$ e < 1 $ 的情况

$ e = 0 $ 时，曲线是圆。随着 $ e$ 增大，曲线形状偏离圆形，变成椭圆形，有两个焦点。

这两个焦点其中一个是 定焦点，也就是前面提到的圆心（图中的原点），另一个动焦点 沿着椭圆的长轴方向运动（图中的 $ x$ 负半轴）。

$ e$ 值越大，动焦点越远，当 $ e$ 值为 1 时，动焦点 位于无穷远，这时椭圆变成 抛物线

$ e > 1 $ 的情况

当 e 值超过1继续增大，这时 抛物线 变为 双曲线。

动焦点从无穷远处沿相反方向（图中的 x 正半轴）回到定焦点附近。

可以把 抛物线 看做是椭圆和双曲线的临界状态。

反射性质

所有圆锥曲线，具有以下反射性质：有一圆锥曲线形状的镜子，从任一焦点出发的光线，将汇聚在另一焦点处。

焦点这一词其实是从光学借来的。

帕斯卡定理

1639 年（崇祯十二年，明思宗朱由检正为南下的清军焦头烂额），16 岁的帕斯卡（就是压强单位里的帕斯卡）发现了后来以自己名字命名的定理：

圆锥曲线的内接六边形，三对对边延长线的交点共线

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