星形线的公式和图像

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正文开始：

星形线是 内摆线 的一种特例，当内外圆半径之比为4时，内摆线就是星形线。

星形线 (astroid) 的字根 astro- 来自希腊语中的 “星星”：αστέρι。

英文同字根的词：

• astronaut 宇航员 naut 来自希腊语中的 sailor: ναύτης
• astrology 占星术
• astronomy 天文学
• asteroid 小行星
• disaster 灾难

星形线的标准式

$$x^{2/3}+y^{2/3}=1$$

星形线是 内摆线 的一种特例， 大圆与小圆的直径之比为 $4:1$，则小圆上任一点形成的轨迹即为星形线。

星形线的参数式

$$(x,y)=(\cos^3(t), \sin^3(t))$$

滑落定长杆的包络线

星形线还有一种方法得到：想象一根定长的杆子，靠着墙放，由于放得不稳当，一端沿着墙面滑落。

滑落的过程中，这根杆子在空中所有的瞬时位置，就形成了一个包络线。这个包络线也是星形线。

这种定长滑杆的两个端点在x,y轴上滑动的机制，恰好是 椭圆规 的工作原理。

所以滑杆上的所有点的轨迹，也得到了一族椭圆，而且这族椭圆的包络线也是星形线。

椭圆簇的包络线

满足 $a+b=$定值 的椭圆的包络线

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